뷔퐁의 바늘

L'aiguille de Buffon

프랑스의 수학자 조르주루이 르클레르 드 뷔퐁(Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon)이 제시한 문제. 원주율의 값을 기하학적 확률로 계산하는 방법이다.

파일:나무_뷔퐁_바늘문제_개요_수정.png

한 평면 위에 $d$만큼의 간격으로 평행선을 그린 다음 길이가 $l$(단, $d \geq l$)인 바늘을 던졌을 때, 바늘이 선에 닿는 사건 $A$의 확률은

로 표현된다. 즉, 선에 닿을 확률과 그렇지 않을 확률에 $\pi$가 포함되므로 $\pi$의 값을 구할 수 있다.

큰 수의 법칙에 따라 $n$번 바늘을 던져 $r$번 닿았다면, 사건이 일어나는 상대도수는 수학적 확률에 수렴하므로

로 구할 수 있다. 특히, 바늘의 길이와 평행선 사이의 길이가 같은 경우, 즉 $d=l$이면

곧 시행 횟수와 닿은 횟수의 비로 구해진다. 다만, 이 방법은 수렴이 매우 느려서 뷔퐁의 바늘로 $\pi$의 값을 구하는 것은 현실적으로 불가능하다. $\pi$의 근사분수 ${355}/{133}$만큼 오차를 줄이려고 해도 240조 번 이상 던져야 하기 때문이다.

이 문제상황은 그림과 같이 두 수평면 사이만 고려해도 문제가 없다.

파일:나무_뷔퐁_바늘문제_증명_1.png

위의 그림과 같이 길이가 $l$인 바늘의 중심을 $\rm C$라 하고, 바늘의 한 끝을 $\rm A$라 하자. 또, 평행선과 평행한 직선 $\rm BC$를 고려하고 $\rm A$에서 해당 직선에 내린 수선의 발을 $\rm B$라 하자. 이때, 바늘이 평행선과 $\theta$(단, $0 \leq \theta \leq \pi$)의 각을 이룰 때, 점 $\rm C$에서 가장 가까운 평행선에 내린 수선의 발을 $\rm H$라 하자.

이때, $0 \leq \overline{\rm CH} \leq d/2$이고, 바늘이 수평선에 닿으려면 $\overline{\rm CH} \leq \overline{\rm AB}$여야 한다. 한편,

이에 이 사건은 $\overline{\rm CH}=x$라 놓으면 전체 영역

중 부분 영역


파일:파일-나무_뷔퐁_바늘문제_증명_2_NEW.png

에서 일어난다 볼 수 있으므로 그 확률은 두 영역의 넓이의 비 $D/S$, 즉 아래와 같다.